А не проще ли мужу позвонить в америк. посольство здесь в Будапеште и все узнать из первых рук??

Иностранцы могут находится здесь разное время без визы. Это зависит от того, какое соглашение сущ. между Венгрией и страной. Обычно либо 1 месяц, либо 3 месяца. Если между США и Венгрией — 3 месяца (чего лично я не знаю), то ваш муж может ближе к истечению 3-х месяцев выехать из Венгрии, скажем в Австрию, на денек, другой, а потом снова въехать в Венгрию. Тогда не нужно делать визу и по идее не нужно регистрироваться. Но узнать все же официально — не помешает.